7.Sınıf Meb Yayınları Matematik Çözüm Sende Sayfa 269 Cevaplarını yazımızın devamından okuyabilirsiniz.
Çözüm Sende
1) 5, 5, 5, 6, 6, 3, 3, 2, 8 veri grubunun
a) Aritmetik ortalamasını
b) Tepe değerini (mod)
c) Ortancasını (medyan) bulunuz.
Bir veri grubunun aritmetik ortalamasını, tepe noktasını ve ortancasını bulmak için terimlerin ne olduğunu bilmeliyiz.
Aritmetik ortalama: Veri grubunda bulunan tüm terimlerin toplamının veri adedine bölünmesiyle bulunur. Bunu formülsel olarak aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
Aritmetik ortalama= (Verilerin toplamı) / Veri adedi
Tepe noktası (mod): Veri grubundaki en çok tekrar eden sayıdır. (Bir veri grubunda birden fazlada tepe noktası bulunabilir.)
Ortanca (medyan) değer: Veri grubunda bulunan sayıları küçükten büyüğe sıraladığımızda ortada kalan sayıya denir.
Not: Veri adedinin çift sayı olması durumunda dikkat edilmesi gereken bir husus vardır. Çift sayıların ortası olmadığı için ortadaki iki sayının ortalaması alınır. Bulunan sayı ise ortanca değer olarak belirlenir.
Şimdi verilen 5,5,5,6,6,3,3,2,8 veri grubuna göre;
a) Aritmetik ortalama için verilerin toplamı 5+5+5+6+6+3+3+2+8= 43 Veri adedi 9 olur. Buna göre 43/9= 4,7 bulunur.
b) Modu bulmak için veri grubunda 5 rakamı üç kere tekrar etmiş, 6 ve 3 rakamı iki kere, 2 ve 8 rakamları ise bir kere bulunmaktadır. Buna göre tepe noktası (mod) en çok tekrar eden 5 rakamı olur.
c) Medyanı bulmak için veri grubunu sıralayalım. 2,3,3,5,5,5,6,6,8 Veri adedi 9 yani tek sayı olduğu için ortanca değeri kolaylıkla belirleyebiliriz. Ortadaki sayı görüldüğü gibi 5 rakamıdır.
2) Aşağıdaki ifadelerden doğru olana “D”, yanlış olana “Y” yazınız.
▶ 3, 4, 4, 5 veri grubunun modu yoktur.
3, 4, 4, 5 veri grubunun modu yoktur ifadesi YANLIŞTIR.
Veri grubunun modu (tepe değeri) nedir tanımlayalım.
Verilen bir veri grubunda en fazla hangi sayı tekrar ediyorsa, o sayıya mod nedir. Buna göre 3,4,4,5 veri grubu için mod var mıdır bakalım.
4 sayısından iki tane vardır. 3 ve 5 sayılarından ise 1 tane bulunmaktadır.
Buna göre bu veri grubunun modu vardır ve 4 olur.
Hangi durumlarda mod vardır yada yoktur hatırlayalım.
Bir veri grubunda mod değeri bir tane olmak zorunda değildir. Eşit sayıda tekrar eden iki sayı varsa mod iki sayıdan oluşur.
Veri grubundaki her veriden eşit sayıda tekrar eden sayı bulunduğunda tepe noktası bulunamaz. Yani yoktur.
Bir veri grubu aynı sayıdan oluşuyorsa o grubun modu yoktur.
▶ 7, 8, 9 veri grubunun medyanı 9’dur.
Cevap: YANLIŞTIR.
Veri grubunda medyan (ortanca değer) nasıl bulunur öğrenelim.
Medyan bulunurken veri grubundaki veriler küçükten büyüğe yada büyükten küçüğe sıralanır. Sıralamanın ortasında kalan terim o veri grubunun medyanı yani ortanca değeri olur.
Dikkat edilmesi gereken tek unsur, veri grubunun kaç terimden oluştuğudur. Eğer gruptaki veri sayısı tek sayı ise ortanca terimi bulmak kolaydır. Direk medyan, ortadaki sayı olarak bulunur. Fakat veri sayısı çift ise ortanca terimi bulmak için ortadaki 2 sayıdan yararlanılır. İki sayının ortalaması alınarak medyan bulunmuş olur.
Hatırlatma: Ortalamanın bulunması aritmetik ortalamayla mümkündür. Aritmetik ortalama, verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur.
Buna göre 7, 8, 9 veri grubunun medyanını bulalım.
Verilen veri grubundaki sayılar zaten küçükten büyüğe sıralı şekilde verilmiştir. Ayrıca veri sayısı da 3’tür. (Tek sayı)
Böylece 7, 8, 9 veri grubunun ortasındaki sayı yani 8 sayısı bu grubun medyanı olarak bulunur.
▶ 3, 6, 7, 8, 8 veri grubunun modu 8’dir.
Cevap: DOĞRUDUR
Bir veri grubunun modu (tepe değer), o grup içerinde bulunan ve en çok tekrar eden sayıdır.
Ayrıca veri grubunun bir tane modu olmak zorunda değildir. Eğer tekrar eden sayı kaç tane ise o kadar modu olabilir. Fakat veri grubundaki tüm sayılar eşit tekrarda ise veri grubunun modundan bahsedemeyiz. Aynı şekilde veri grubu aynı sayıdan oluşuyorsa yine mod yani tepe değeri yoktur.
Bunlara kısa bir örnek vermek gerekirse;
5,5,5,5,5,5 olarak verilen bir veri grubunun modu yoktur.
3,6,7,9,4 veri grubundan da da sayıların hepsi bir kez yani eşit sayıda tekrar ettiğinden mod yoktur.
Yukarıdaki bilgilere göre verilen 3,6,7,8,8 veri grubunun modunu belirleyelim.
iki kere tekrar eden sayı 8’dir. Grupta bulunan diğer sayılar yani 3,6 ve 7 sayıları bir kez tekrar etmiştir. Buna göre tek başına 8 sayısı verilen grubun modu olarak bulunur.
▶ 7, 6, 5, 4 veri grubunun medyanı 5’tir.
Cevap: YANLIŞTIR
Adım adım açıklama: Veri grubunda (ortanca değer) medyanın nasıl bulunduğu aşağıda verilmiştir.
Veri grubu küçükten büyüğe yada büyükten küçüğe olarak sıralanır.
Sıralandıktan sonra grubun ortasında kalan sayı o grubun medyanı olur.
Not: Veri grubunun sayısının tek yada çift olması medyanın bulunmasında etkili bir unsurdur. Veri sayısının tek olması durumunda medyanın bulunması yukarıdaki gibidir. Yani ortadaki sayı olarak belirlenir. Fakat çift olması durumunda ortadaki iki sayının ortalaması alınır. Bulunan ortalama grubun medyanı yani ortanca değeri olur.
⇒Çift olması durumunda ortalama alınmasının nedeni çift sayılarda ortanca bir sayının direk bulunamamasıdır.
⇒Ortalama ise ortalaması alınacak verilerin toplanıp veri adedine (sayısına) bölünmesiyle bulunur.
Şimdi bize verilen 7,6,5,4 veri grubunun medyanını bulalım.
Veri grubunu küçükten büyüğe sıralamayla başlayalım. 4,5,6,7
Grup 4 sayıdan oluştuğu için veri sayısı 4 olur. Bunun için veri sayısının çift olma durumunda medyan nasıl hesaplanıyorsa o şekilde bulmalıyız.
Ortadaki sayıların ortalamasını almamız gerekir.
4,5,6,7 veri grubunun ortasındaki iki sayı 5 ve 6’dır. 5+6=11
İki sayının ortalaması alındığı için medyan 11/2= 5,5 bulunur.
▶ 2, 2, 3, 4, 4, 5 veri grubunun modu 2’dir.
Cevap: Veri grubunu modu 2 ve 4 olamalıdır.
Adım adım açıklama: Bir veri grubunda en çok tekrar eden sayı o grubun modu olur. Mod değerine aynı zamanda tepe değeri de denilmektedir.
Tepe değeri her zaman bir tane olmak zorunda değildir. Eğer eşit sayıda tekrar eden 2 sayı varsa o sayılar veri grubunun modu olur.
Bir veri grubunda her zaman mod yani tepe noktası bulunamayabilir.
Bunlardan biri, eğer veri grubunda olan sayıların hepsi aynı tekrar sayısına sahip olduğunda bulunmaz. Diğeri veri grubu aynı sayılardan oluşmuşsa mod yoktur.
Şimdi verilen 2,2,3,4, 4, 5 veri grubuna bakalım.
Mod için tekrar eden sayılara bakıyorduk. 2 ve 4 sayısı iki kere tekrar eden sayılardır. 3 ve 5 ise bir kez bulunmaktadır. Buna göre tepe değeri 2 ve 4 sayıları olur.
3) Yandaki tabloda 7/E sınıfındaki öğrencilerin matematik sınavından aldığı notlar verilmiştir. Bu tabloya göre 7/E
sınıfı matematik notlarının
a) Aritmetik ortalamasını
b) Tepe değerini (mod)
c) Ortancasını (medyan) bulunuz.
Öncelikle aritmetik ortalama, tepe değer ve medyan ne demek tanımlayarak başlayalım.
Aritmetik ortalama: Bir veri grubundaki tüm verilerin toplamının veri adedine bölünmesiyle oluşan değere denir.
Tepe değeri (mod): Veri grubunda bulunan değerlerin en çok tekrar eden sayısına denir.
Not: Bir veri grubunda birden fazla tepe değer bulunabilir.
Ortanca değer (medyan): Veriler küçükten büyüğe sıralandıktan sonra ortada kalan sayıya denir.
Not: Veri sayısının (adedi) tek olma durumunda meydan ortadaki sayıdır.
Çift olduğunda ise ortadaki iki sayının ortalaması alınarak medyan bulunmaktadır.
Soruda bize verilen veri grubu 7/E sınıfındaki öğrencilerin matematikten aldıkları notlardır.
Tabloya göre;
3 öğrenci 1 notunu
2 öğrenci 2 notunu
8 öğrenci 3 notunu
6 öğrenci 4 notunu
5 öğrenci ise 5 notunu almıştır.
Veri sayısı ise sınıf mevcududur. Tabloya göre toplam öğrenci sayısı 24’tür.
a)Aritmetik ortalama için;
Veri toplamı: 3+4+24+24+25= 80
Veri adedi: 24
Aritmetik ortalama= 80/24= 3,3 olur.
b) Mod için tekrar eden sayı tablodan kolaylıkla görülmektedir. Tekrar eden not en çok 8 öğrenciyle 3 notu olur.
c) Veri sayısının çift olması durumunda medyan ortadaki iki sayının ortalaması ile bulunuyordu. Veri sayısı 24 (çift) olduğundan notları küçükten büyüğe sıraladığımızda;
1,1,1,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5 veri grubu elde edilir.
Ortadaki iki sayı olarak (3+3)/2 = 6/2 =3 elde edilir.
4) 5 kişilik Yılmaz ailesinin yaşlarının ortalaması 24’tür. Yılmaz ailesinin 70 yaşındaki dedeleri de onlarla yaşamaya başlayınca ailenin yeni yaş ortalaması kaç olur?
Cevap: 95/3
Adım adım açıklama: Ailenin yaş ortalamasını hesaplamak için aritmetik ortalamadan yararlanılır.
Aritmetik ortalama bir veri grubundaki tüm verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur.
Aritmetik ortalama= Verilerin toplamı/ Veri adedi
Yılmaz ailesinin bireylerinin yaşları veri grubunu oluştururlar.
Aile 5 kişiden oluştuğu için veri sayısı 5 olarak alınır.
5 kişilik Yılmaz ailesinin yaş ortalaması 24 olarak verilmiştir. Buna göre değerleri yerine koyarsak;
24= (Yaşların toplamı)/ 5
Buradan ailenin yaşlarının toplamı 24×5= 120 bulunur.
Aile üyelerinin içine 70 yaşındaki dedenin girmesi veri sayısı 6’ya çıkarmış olur. Artık 6 kişilik bir ailenin yaş ortalamasını hesaplamalıyız.
Yeni Aritmetik ortalama= (120+70)/6= 190/6 olur. Sade bir şekilde ifade etmek gerekirse 95/3 bulunur.
5) Bir gruptaki 6 kişinin yaşlarının aritmetik ortalaması 30’dur. Bu gruptan 28 ve 40 yaşlarında 2 kişi
ayrılırsa grubun yaş ortalamasında nasıl bir değişiklik olur? Açıklayınız.
Cevap: Son durumda aritmetik ortalama 2 azalmıştır.
Adım adım açıklama: 6 kişilik bir grubun yaşlarının aritmetik ortalaması 30 olarak verilmiştir.
Öncelikle aritmetik ortalamanın tanımını verelim.
Aritmetik ortalama veri grubunun içinde bulunan tüm verilerin toplamının ver adedine bölünmesiyle elde edilir.
Formül olarak,
Aritmetik ortalama= Verilerin toplamı/ Veri adedi olarak gösterilir.
Soruda veri grubu bir grubun yaşlarıdır. Veri adedi ise grup 6 kişiden oluştuğu için 6 olarak alınır.
Yani formül,
Aritmetik ortama= Yaşların toplamı/ Grupta bulunan kişi sayısı olur.
Değerleri yerine yazarsak:
30= (Yaşlar toplamı)/ 6
Buradan 6 kişilik grubun yaşları toplamı 30×6= 180 olarak bulunur.
Son olarak 6 kişilik gruptan 2 kişinin ayrıldığından bahsedilmiştir. Grup 4 kişi kaldığı için artık 4 kişilik grubun aritmetik ortalamasını hesaplamalıyız.
Gruptan ayrılanların da yaşları 28 ve 40 olarak verilmiştir.
(Toplamda 40+28= 68)
Aritmetik ortalama= (180-68)/ 4= 112/4= 28 olarak bulunur.
İlk verilen ortalamaya göre iki kişinin gruptan ayrılması aritmetik ortalamayı azaltmıştır. (30-28=2)
6) “4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, a’’ veri grubunda a yerine kaç yazılırsa veri grubunun tepe değeri ile
aritmetik ortalaması eşit olur?
Cevap: a yerine 8 sayısı gelmelidir.
Adım adım açıklama: Aritmetik ortalama ile tepe değer nedir tanımlayarak başlayalım.
Aritmetik ortalama veri grubundaki verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle oluşan değerdir.
(Mod) Tepe değer ise veri grubundaki en çok tekrar eden sayıya denir.
Not: Bir veri grubunda tepe değer birden fazla olabilir.
Şimdi bize verilen 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, a’’ veri grubunda a yerine gelecek sayıyı belirleyelim. Belirlemek için koşul olarak tepe değeri ile aritmetik ortalamasının eşit olması istenmiştir.
Buna göre ilk olarak aritmetik ortalamayı hesaplayalım. Veri grubu 12 sayıdan oluştuğu için veri sayısını 12 alırız.
Aritmetik ortalama= (4+5+5+5+6+6+6+6+7+7+7+a)/ 12
Aritmetik ortalama=(64+a)/ 12
Tepe değeri için grupta 6 sayısının 4 kere tekrar ettiğini görebiliyoruz. 7 sayısı ise 3 kere tekrar etmiştir. a değerini 7 den farklı bir sayı belirlediğimizi düşünelim. Böylece grubun modu 6 sayısı olurdu. Eğer a yerine 7 rakamı gelirse tepe değeri hem 6 sayısı hemde 7 sayısı olurdu. Tepe değeri iki tane olabilir. Fakat aritmetik ortalamaya eşit bulunması için bir sayıdan bahsedilmesi gerekmektedir.
Bunun için mod olarak 6 sayısını seçebiliriz.
Buna göre aritmetik ortalamayı 6 olarak belirlediğimizde a’yı bulmak için aşağıdaki işlemleri yapalım.
(64+a)/ 12= 6
(64+a)= 12×6
(64+a)= 72
Buradan a değeri 8 olarak bulunur. (72-64)
7) Bir öğretim üyesi beşer kişilik 3 sınıfta yıl sonu sınavı yapmıştır. Alınan puanlar aşağıdaki tabloda
verilmiştir.
a) Her bir sınıfın aldığı puanların aritmetik ortalamasını bulunuz.
b) Her bir sınıfın aldığı puanların tepe değerini bulunuz.
c) Her bir sınıfın aldığı puanların ortancasını (medyan) bulunuz.
ç) Hangi sınıf daha başarılıdır? Nedenleriyle açıklayınız.
d) A sınıfına yeni gelen bir öğrenci sınavdan 10 puan almıştır. Sınıfın ortalaması ve medyanı kaç olur? Bu durumdan hangisi daha çok etkilenir?
Bir veri grubunda aritmetik ortalama, tepe değeri (mod), ortanca değer (medyan) nasıl belirlenir öğrenerek başlayalım.
Aritmetik ortalama: Veri grubunda bulunan tüm verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle elde edilir.
Tepe değeri: Veri grubundaki en çok tekrar eden sayıya denir.
Not: Veri grubunda birden fazla tepe noktası bulmak mümkündür. Tepe noktasının olmadığı veri grupları da vardır.
Ortanca değer: Grupta bulunan verileri küçükten büyüğe yada büyükten küçüğe sıraladığımızda ortada bulunan değere denir.
Not: Ortanca değer bulunurken eğer veri sayısı tek ise ortadaki değer aynen bulunur. Fakat çift olma durumunda ortadaki 3 sayının ortalaması alınarak işlem yapılır.
Tabloda beşer kişiden oluşmuş 3 sınıfın, aldığı puanlar verilmiştir.
A sınıfı sınav puanları 90,80,70,75,85
B sınıfı sınav puanları 100,100,80,80,60
C sınıfı sınav puanları 40,65,95,90,90
Bu tabloya göre ve yukarıda verdiğimiz tanımlara göre şıkları cevaplayalım.
a) Her bir sınıfın aldığı puanların aritmetik ortalamasını bulunuz.
A sınıfının aritmetik ortalaması= (90+80+70+75+85)/ 5= 400/5= 80
B sınıfının aritmetik ortalaması= (100+100+80+80+60)/ 5= 420/5= 84
C sınıfının aritmetik ortalaması= (40+65+95+90+90)/ 5= 380/5= 76
b) Her bir sınıfın aldığı puanların tepe değerini bulunuz.
A sınıfının en çok tekrar eden puanı olmadığından yani her puandan bir tane bulunduğu için tepe noktası yoktur.
B sınıfında 100 ve 80 puanları iki kez tekrar ettiği için tepe noktaları da 100 ve 80 olarak bulunur.
C sınıfının en çok tekrar eden puanı 90 olur.
c) Her bir sınıfın aldığı puanların ortancasını (medyan) bulunuz.
A sınıfının puanlarını küçükten büyüğe sıraladığımızda:
70,75,80,85,90 Buradan ortanca değer 80 olarak bulunur.
B sınıfı için 60,80,80,100,100 veri grubundan ortanca değer 80 bulunur.
C sınıfındaki puanları sıraladığımızda 40,65,90,90,95 olur. Ortanca değer ise 90 olarak bulunur.
ç) Hangi sınıf daha başarılıdır?
B sınıfı daha başarılıdır. Çünkü sınıf ortalamasına bakarak karşılaştırma yaparsak en yüksek ortalama B sınıfının not ortalaması olur.
d) A sınıfına yeni gelen bir öğrenci sınavdan 10 puan almıştır. Sınıfın ortalaması ve medyanı kaç olur? Bu durumdan hangisi daha çok etkilenir?
A sınıfına bir kişi daha gelirse sınıf sayısı 6 olur.
6 kişinin not ortalaması: (400+10)/6= 68,3
Medyanı ise puanları sıraladığımızda 10,70,75,80,85,90 olur.
Veri sayısı 6 yani çift olduğu için ortadaki sayıların ortalamasına bakmamız gerekir.
(75+80)/ 2= 77,5 bulunur.
Buradan büyük ve küçük değerlerin aritmetik ortalamanın değerini etkilediğini söyleyebiliriz.
Yeni bir değerin eklenmesi aritmetik ortalamayı ve medyanı etkilemiştir. En çoksa aritmetik ortalama etkilenmiştir.
A sınıfının ilk ortalaması 80 iken 68,3 değerine düşmüştür.